উচ্চতর গণিত

সেট ও ফাংশন

সার্বিক সেট(Universal set)

কয়েকটি বিশেষ সংখ্যা সেট

উপসেট(Subset)

ফাঁকা সেট(Empty set)

সেট সমতা(Equality of set)

প্রকৃত উপসেট(Proper subset)

সেটের অন্তর(Difference of set)

পূরক সেট(Complementary set)

শক্তি সেট(Power set)

ভেনচিত্র(Venn Diagram)

সেটের সংযোগ(Union of set)

সেটের ছেদ(Intersection of set)

নিশ্ছেদ সেট(Disjoint set)

কার্তেসীয় গুনজসেট(Cartesian product set)

সেট প্রক্রিয়ার কতিপয় প্রতিজ্ঞা

বিনিময় বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

সংযোগ বিধির প্রতিজ্ঞা দুইটির যাচাইকরন

সেট প্রক্রিয়া সংক্রান্ত আরও কতিপয় প্রতিজ্ঞা

এক-এক মিল(One-one correspondence)

সমতুল সেট(Equivalent set)

ব্যবধি(Interval)

সান্ত ও অনন্ত সেট(Finite and Infinite set)

বাস্তব সমস্যা সমাধানে সেট

ফাংশন(Function)

অন্বয়(Relation)

ফাংশন(Function)

বিপরীত ফাংশন(Inverse function)

এক-এক ফাংশন(One-one function)

সার্বিক ফাংশন(Onto function)

অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র

সরলরৈখিক ফাংশন

দ্বিঘাত ফাংশন(Quadratic Function)

বৃত্তের লেখচিত্র

বীজগাণিতিক রাশি

চলক,ধ্রুবক ও বহুপদী

এক চলকের বহুপদী

দুই চলকের বহুপদী

তিন চলকের বহুপদী

বহুপদীর গুনফল ও ভাগফল

ভাগ সূত্র

সমতা সূত্র

অভেদ(Identity)

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য

উৎপাদক উপপাদ্য এর বিপরীত উপপাদ্য

সমমাত্রিক বহুপদী,প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি

চক্র-ক্রমিক বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ

মূলদ ভগ্নাংশ(Rational Fractions)

আংশিক ভগ্নাংশ(Partial Fractions)

জ্যামিতি

পিথাগোরাস সম্পর্কিত আলোচনা

উপপাদ্য-১(পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

উপপাদ্য-২(পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর বিপরীত উপপাদ্য)

লম্ব অভিক্ষেপের ধারনা

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ

কতিপয় গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

উপপাদ্য-৩

উপপাদ্য-৪

উপপাদ্য-৫

ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক উপপাদ্য

উপপাদ্য-৬

উপপাদ্য-৭

উপপাদ্য-৮

উপপাদ্য-৯

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র,ভরকেন্দ্র ও লম্ব-বিন্দু

উপপাদ্য-১০

উপপাদ্য-১১

উপপাদ্য-১২

জ্যামিতিক অঙ্কন

ত্রিভুজ সংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য

সম্পাদ্য-১

সম্পাদ্য-২

সম্পাদ্য-৩

সম্পাদ্য-৪

বৃত্ত সংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য

সম্পাদ্য-৫

সম্পাদ্য-৬

সম্পাদ্য-৭

সম্পাদ্য-৮

সমীকরণ

এক চলক সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরন ও তার সমাধান

মূল চিহ্ন সম্বলিত সমীকরন

সূচক সমীকরন

দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরন জোট

দ্বিঘাত সহসমীকরন ব্যবহার

দুই চলক বিশিষ্ট সূচক সমীকরন জোট

লেখচিত্রের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরনের সমাধান

অসমতা

অসমতার ধারণা

অসমতার ব্যবহার

দুই চলক বিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

দুই চলক বিশিষ্ট অসমতার লেখচিত্র

অসীম ধারা

অনুক্রম

অসীম ধারা

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

পৌনঃপুনিক দশমিকের সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

ত্রিকোণমিতি

সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

দ্বিপদী বিস্তৃতি

দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

দ্বিপদী সহগ

প্যাসকেলের ত্রিভুজের ব্যবহার

(x+y)^n দ্বিপদী এর বিস্তৃতি

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

সমতলীয় ভেক্টর

ঘন জ্যামিতি

মৌলিক ধারণা

কতিপয় প্রাথমিক সংজ্ঞা

সম্ভাবনা

সম্ভাবনার সাথে জড়িত কিছু ধারণা

যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয়

দুইটি বিশেষ ধরনের ঘটনা

তথ্যভিত্তিক সম্ভাবনা নির্ণয়

নমুনাক্ষেত্র এবং Probability Tree দ্বারা সম্ভাবনা নির্ণয়

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

নবম-দশম শ্রেণি (দাখিল) - উচ্চতর গণিত - অসীম ধারা | NCTB BOOK

$u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . . . + u_{n} + . . . .$ অনন্ত ধারার

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = u_{1}$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = u_{1} + u_{2}$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}$

n তম আংশিক সমষ্টি $S_{r} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . + u_{n}$

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

উদাহরণ ১. প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) $1 + 2 + 3 + . . . .$ খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . . .$

সমাধান:
ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 a + (n - 1) d\} = \frac{n}{2} \{2.1 + (n - 1) . 1\}$
কাজেই $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 + n - 1\} = \frac{n (n + 1)}{2}$

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

$S_{10} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
$S_{1000} = \frac{1000 \times 1001}{2}$ $= 500500$

$S_{100000} = \frac{100000 \times 100001}{2} = 5000050000$

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . .$ অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = 1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = 1 - 1 = 0$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1$

৪র্থ আংশিক সমষ্টি $S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 1$ এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 0$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।

Content added By

আরও দেখুন...

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

or

Email, Mobile or Username:

Password:

Remember Me

Forgot password?

Don't have an account? Register